Conference publications

Abstracts

XIV conference

Устойчивость линейных многомерных моделей с запаздыванием

Комиссарова Дарья Амировна

г. Челябинск, пр. Ленина, 76

Рассмотрим матричное уравнение

, (1)

где – действительные матрицы размера , , число называется запаздыванием.

Теорема 1. Уравнение (1) асимптотически устойчиво тогда и только тогда , когда все корни уравнения лежат внутри единичного круга.

Следствие. Если и , то уравнение (1) неустойчиво.

Под будем понимать любую матричную норму, удовлетворяющую четырем аксиомам нормы и согласованную с векторной нормой , т.е. для всех и для любой матрицы размера .

Теорема 2. Если то уравнение (1) асимптотически устойчиво.

Рассмотрим частный случай уравнения (1) при :

, (2)

Теорема 3. Уравнение (2) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы лежат внутри области комплексной плоскости, ограниченной кривой

.

Заметим, что, если – нечетное, то область устойчивости расположена в правой полуплоскости комплексной плоскости, в противном случае – в левой полуплоскости.

Следствие. Если существуют собственные значения матрицы , такие, что , то уравнение (2) неустойчиво.

Литература

1. Levitskaya I.S. A note on the stability oval for // J. of Difference Equations and Applications. 2005. V.11. P.701-706.