Conference publications

Abstracts

XIX conference

Algebraic models of synchronized switch schemes

Yashin A.

127051? Russia, Moscow, Sretenka str., 29, MSUPE

2-{\em Мерная переключательная схема} --- $n^2$ {\em круговых $m$-позиционных} переклю\-ча\-те\-лей в узлах плоской решётки $n\times n$. При повороте одного переключателя так же поворачиваются все, расположенные с ним в одной горизонтали и одной вертикали. {\em Состояние} схемы --- матрица состояний всех её переключателей. За\-да\-ча {\em управления схемой}: из данного состоя\-ния получить нужное воздействиями на переключатели. Схема {\em управ\-ля\-е\-ма}, если из любого исходного состояния можно получить любое требуемое. Аналогично определяется 3-{\em мерная схема}: $m$-позиционные круговые пере\-клю\-ча\-те\-ли располагаются в узлах кубической решётки $n\times n\times n$. Синхронизация по вертикали, горизонтали и фронтали. При каких соотношениях между $m$ и $n$ указанные выше схемы управляемы? Как найти нужную последовательность воздействий на схему для получения требуемого состояния из исходного? {\bf Теорема 1.} {\sl 2-Мерная схема управляема т. и т.т., когда $m$ взаимно просто с числами $n-1$ и $2n-1$. 3-мерная схема управляема т. и т.т., когда $n>2$ и $m$ взаимно просто с числами $2$, $n-2$, $n-1$ и $3n-2$.} Явное отыскание управляющих воздействий основано на обращении линейных операторов специального вида. Для 2-мерной схемы $F(X)=-X+UX+XU$ на модуле $Mat_n[{\mathbb Z}_m]$ квадратных матриц порядка $n$ над кольцом вычетов ${\mathbb Z}_m$, где $U$ --- матрица из единиц. Для 3-мерной схемы $F(X)=V\circ X+X\circ V-X\times V-2X$. Здесь $\circ$ и $\times$ --- {\em фронтально—по\-слой\-ное} и {\em вертикально—послойное} произведения кубических матриц соответствен\-но, $V$ --- кубическая матрица из единиц. Оператор действует на модуле кубических матриц над кольцом ${\mathbb Z}_m$. {\bf Теорема 2 [2-мерная схема].} {\sl В условии управляемости при $m=2$ $F^{-1}(X)=F(x)$; при $m>2$ $F^{-1}(X)=(-1+n’+n'')X+(n’+n''-n’n'')F(X)-n’n''F^2(X)$, где $n’$ и $n''$ --- обратные к $n-1$ и $2n-1$ соответственно в кольце ${\mathbb Z}m$.} {\bf Теорема 3 [3-мерная схема].} {\sl В условии управляемости $F^{-1}(X)=a_0X+a_1F(X)+a_2F^2(X)+a_3F^3(X)$, где коэффициенты $a_i$ явно вычисляются через обратные к $n-2$, $n-1$, $3n-2$, $2$ в кольце ${\mathbb Z}_m$.}

• view as PDF (in Russian) (PDF)