English
!

Архив публикаций

Тезисы

XV-ая конференция

Оптимальный метод простой итерации со спектром из отрицательного числа и положительного отрезка

Сорокин П.Н., Ченцова Н.Н.1

НИИ системных исследований РАН, Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова,еханико-математический ф-т, каф. Математического анализа, Россия, 127486, Москва, ул. Дегунинская, д. 13, кв. 84. Тел.: (495)487-48-03, e-mail: s_p_n_1974@bk.ru

1Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова, Механико-математический ф-т, каф. Вычислительной математики, Россия , 119296, Москва, Ленинский пр-т, д. 69, кв. 258, Тел.: (499)134-44-68, e-mail: chensova@mech.math.msu.su

1  стр.

Изучаются методы решения системы линейных уравнений

Ax = b, (1)

где A - действительная квадратная матрица размерности m x m, m – целое, m ≥ 1, x, b - вектора-столбцы из R_m.

Определение 1. Будем говорить, что матрица A удовлетворяет условию (W), если все собственные значения λk(A) матрицы A – действительные, некратные и принадлежат множеству W = {-s} U [μ,M], 0 < s, 0 < μ < M.

Теорема 1. Решение линейной системы (1), если матрица A удовлетворяет условию (W), существует и единственно.

Определение 2. Двухпараметрическим методом простой итерации с параметрами α,β называется метод построения последовательности x(n) вектор-столбцов из R_m по формуле:

x(n+1) = (E+αA+βA^2) x(n) – (αE+βA)b, (2)

где α,β – действительные числа отличные от нуля, Е – единичная матрица.

Положим θ(α,β,λ) = 1 + α λ(A) + β λ^2(A), q(α,β) = supλЄW |θ(α,β,λ)|.

Теорема 2. Если матрица A удовлетворяет условию (W) и q(α,β) < 1, то двухпарамет- рический метод простой итерации сходится к решению линейной системы (1).

Определение 3. Сходящийся двухпараметрический метод простой итерации (2) c параметрами α0, β0 называется оптимальным, если q(α0 , β0) = inf α,β q(α , β), где α,β – действительные числа, отличные от нуля.

Теорема 3. Если матрица A удовлетворяет условию (W), то двухпараметрический метод простой итерации (2) с β0 = - 2/( μs+Ms-μM+M^2), α0 = (s-μ)β0 сходится к решению системы (1) и является оптимальным q(α0 , β0) = 1+β0 s μ.

Замечание. Для s = 1, μ = 2, M = 4, имеем α0 = 1/7, β0 = - 1/7, q(α0 , β0) = 5/7.

* ) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ ( код проекта 05-01-00511).



© 2004 Дизайн Лицея Информационных технологий №1533