|
Архив публикацийТезисыXXII-ая конференцияАксиоматика полных по Новикову расширений суперинтуиционистской логики L3 в языке с дополнительной логической константойМосковский городской психолого--педагогический университет, Россия, 127051, Москва, Сретенка, 29 1 стр. (принято к публикации)Суперинтуиционисиская логика $L3$ --- одна из трёх т.н. {\em предтабличных} с.и.л.~\cite{Maksimova}, характеризуется классом конечных частично упорядоченных множеств высоты 3 с наименьшим (корень) и наибольшим (топ) элементами (далее {\em даймонды}). Класс даймондов обозначим через $\mathbb{D}$. Аксиоматика $L3$: $L3=Int+\lnot A\lor\lnot\lnot A\mbox{ (слабый закон исключённого третьего) }+ A\lor(A\to (B\lor (B\to(C\lor\lnot C))))\mbox{ (высота модели не более 3)}$ с правилами модус поненс и подстановки.
К исходному языку добавляется новая константа $\varphi$. Класс формул расширяется до класса $Fm(\varphi)$. Формулы, не содержащие $\varphi$, называются {\em чистыми}. Под $\varphi$-{\em логикой} понимается подмножество ${\cal L}\subseteq Fm(\varphi)$, включающее $Int$ и замкнутое относительно правил подстановки и модус поненс. $\varphi$-Логика $\cal L$ {\em консервативна над с.и.л.} $L$, если $L\subset\cal L$ и ${\cal L}\cap Fm=L$. Максимальная (по включению) $\varphi$-логика, консервативная над с.и.л. $L$, называется {\em полной по П.С.Новикову над} $L$.
Приписывая к точкам данного даймонда константу $\varphi$ (с наследованием вверх), получим $\varphi$-{\em даймонд} ({\em раскрашенный} даймонд). Рассмотрим 5 классов раскрашенных даймондов: $\mathbb{D}^1$ --- даймонды цветового типа "$\varphi$ нигде"; $\mathbb{D}^2$ --- даймонды цветового типа "$\varphi$ везде"; $\mathbb{D}^3$ --- даймонды цветового типа "$\varphi$ только в топе"; $\mathbb{D}^4$ --- даймонды цветового типа "$\varphi$ везде, кроме корня"; $\mathbb{D}^1$ --- даймонды цветового типа "$\varphi$ везде, кроме корня и единственной точки среднего слоя". $\varphi$-Логики ${\cal L}_1$, \ldots, ${\cal L}_5$ этих пяти классов, и только они, являются полными по Новикову расширениями с.и.л. $L3$~\cite{Koshcheeva}. Предлагается аксиоматика указанных пяти $\varphi$-логик.
{\bf Теорема}. 1) ${\cal L}_1=L3 + \lnot\varphi$; 2) ${\cal L}_2=L3 + \varphi$; 3) ${\cal L}_3=L3 + \lnot\lnot\varphi + \varphi\to(A\lor\lnot A)$; 4) ${\cal L}_4=L3 + \lnot\lnot\varphi + \varphi\to(A\lor (A\to (B\lor\lnot B))) + A\lor (A\to\varphi)$; 5) ${\cal L}_5=L3 + \lnot\lnot\varphi + \varphi\to(A\lor (A\to (B\lor\lnot B))) + ((A\land B)\to\varphi)\to((A\to\varphi)\lor(B\to\varphi)) + ((A\to\varphi)\land((\varphi\to A)\to A)\to(\varphi\lor\lnot A)$.
\begin{thebibliography}{100}
\bibitem{Maksimova} \textit{Максимова Л.Л.} Предтабличные суперинтуиционистские логики.\ Алгебра и логика, 11, № 5 (1972). Стр.558---570.
\bibitem{Koshcheeva} \textit{Кощеева А.К.} Новая константа в суперинтуиционистской логике L3 [Электронный ресурс] / А. К. Кощеева // Международная конференция "Мальцевские чтения", посвященная 60-летию со дня рождения Сергея Савостьяновича Гончарова, 11-14 октября 2011 г. : тез. докл. / Ин-т математики им. С. Л. Соболева, Новосибир. гос. ун-т. --- Новосибирск, 2011. С. 137. \end{thebibliography} |