![]() ![]() |
Архив публикацийТезисыXXV-ая конференцияВозмущения волнового уравнения, обладающего свойством стабилизации всех решений к нулю за конечное времяНовосибирский государственный университет, Институт Математики имени С.Л. Соболева СОРАН, Россия, 630090, г. Новосибирск, проспект акад. Коптюга, 4, Тел: 8-9231979374, E-mail: natlyl@mail.ru 1 стр. (принято к публикации)В полуполосе $\Pi=(0,1)\times (0,\infty)$ рассматривается смешанная задача для волнового уравнения \begin{equation} \label{eq:lyl1} u_{tt}-a^2u_{xx}=0, \qquad (x,t)\in \Pi, \end{equation} решение которого на боковых сторонах $\Pi$ удовлетворяет граничным условиям \begin{equation} \label{eq:lyl2} u(0,t)= p(u_t+au_x)(0,t), \qquad(u_t+au_x)(1,t)=0 \qquad t>0, \end{equation} или \begin{equation} \label{eq:lyl3} u(1,t)= q(u_t-au_x)(1,t), \qquad(u_t-au_x)(0,t)=0 \qquad t>0, \end{equation} и при $t=0$ удовлетворяет начальным данным \begin{equation} \label{eq:lyl4} u(x,0)= u_0(x), \qquad u_t(x,0)=u_1(x), \qquad x\in[0,1]. \end{equation} Здесь $a>0$. Доказано \cite{Lyl}, что для любых чисел $p,q$ все решения задач \eqref{eq:lyl1}, \eqref{eq:lyl2}, \eqref{eq:lyl4} и \eqref{eq:lyl1}, \eqref{eq:lyl3}, \eqref{eq:lyl4} по любым начальным данным становятся равными нулю за время $T=\dfrac{2}{a}$. В случае $p=0$ этот факт был отмечен в \cite{Bal}.
Наряду с \eqref{eq:lyl1} в \cite{Lyl} рассматривается возмущенное волновое уравнение \begin{equation} \label{eq:lyl5} u_{tt}-a^2u_{xx}+c(x,t)u=0, \qquad (x,t)\in \Pi, \end{equation} с гладкой функцией $c(x,t)$, ограниченной в $\overline{\Pi}$ вместе со своими производными до второго порядка включительно. Доказано, что для любых начальных данных $u_0\in L_2(0,1)$, $u_1\in W_2^1(0,1)$ все решения задач \eqref{eq:lyl5}, \eqref{eq:lyl2}, \eqref{eq:lyl4} и \eqref{eq:lyl5}, \eqref{eq:lyl3}, \eqref{eq:lyl4} становятся при $T>\dfrac{4}{a}$ непрерывно дифференцируемыми. При условии, что величина $sup_{x,t\in \overline{\Pi}}(\sum_{0\le \alpha+\beta\le 2}|D^{\alpha,\beta}_{x,t}c(x,t)|)$ мала, доказано, что задачи \eqref{eq:lyl5}, \eqref{eq:lyl2}, \eqref{eq:lyl4} и \eqref{eq:lyl5}, \eqref{eq:lyl3}, \eqref{eq:lyl4} являются асимптотически устойчивыми в пространстве $L_2(0,1)$
\begin{thebibliography}{100} \bibitem{Lyl} \textit{Kmit I.Y., Lyulko N.A.} Asymptotic behavior of solutions to perturbed superstable wave equations// \textit{J. Phys.: Conf. Series} \textbf{894}, 012056, 2017. \bibitem{Bal} \textit{Balakrishnan A.V.} Superstability of systems// \textit{J. Appl. Math. and Comput.} \textbf{164}, \textbf{2}, 2005, p. 321-326.
\end{thebibliography} |