|
Архив публикацийТезисыXVII-ая конференцияДемонстрация свойств численного метода на примере дробно-линейной функцииРоссия, 119333, Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН, Белянков А.Я. 2 стр. (принято к публикации)Пусть функция $f:R\to R$ достаточно гладкая, $f(x_{*})=0$, $f'(x_{*})\neq 0$, а приближения $x_0$, $x_1$, $x_2$, $\ldots$ последовательно порождаются численным методом решения уравнения $f(x)=0$. Приведем хорошо известные асимптотики сходимости, ограничиваясь для определенности тремя методами из монографии [1], а именно методом Ньютона, методом секущих и методом секущих с рекуррентностью вида $x_{k+1}=F(x_{k},x_{k-1})$: $$ \left(x_{k+1}=\right)\qquad x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f'(x_{k})}} =x_{*}+\left(x_{k}-x_{*}\right)^{2}\left(\kappa+o(1)\right), \eqno (1) $$ $$ \left(x_{k+1}=\right)\qquad {\frac {af(x_{k})-x_{k}f(a)}{f(x_{k})-f(a)}} =x_{*}+\left(x_{k}-x_{*}\right)\left(q+o(1)\right), \eqno (2) $$ $$ \left(x_{k+1}=\right)\qquad {\frac {x_{k-1}f(x_{k})-x_{k}f(x_{k-1})}{f(x_{k})-f(x_{k-1})}} =x_{*}+\left(x_{k-1}-x_{*}\right)\left(x_{k}-x_{*}\right)\left(\kappa+o(1)\right). \eqno (3) $$ Для дробно-линейных функций $\varphi_A(x)=(a_{11}x+a_{12})/(a_{21}x+a_{22})$, $\mbox{det}(A)\neq 0$, в докладе устанавливается следующее. Если $f=\varphi_A$, то формулы (1--3) выполняются точно, т.е. можно отбросить $o(1)$; надлежащие значения $\kappa$, $q$ суть $\kappa=f''(x_{*})/2f'(x_{*})$, $q=\kappa (a-x_{*})$. Эти свойства характерны именно для дробно-линейных функций: если в любой из формул (1--3) отбросить $o(1)$ и рассмотреть ее как функциональное уравнение относительно $f$ с независимой переменной $x_k$ (формулы (1--2)) или с парой переменных $x_{k-1},x_k$ (формула (3)), то получим, что $f$ дробно-линейна. Отметим также, что процесс решения уравнения $x=\varphi(x)$ методом простой итерации, т.е. построением последовательности $x_0$, $x_1=\varphi(x_0)$, $x_2=\varphi(x_1)=\varphi(\varphi(x_0))$, $\ldots$ вполне ``прозрачен'' в случае дробно-линейной функции $\varphi=\varphi_A$, так как $\varphi_A(\varphi_A(x))=\varphi_{A^2}(x)$, $\varphi_A(\varphi_A(\varphi_A(x)))=\varphi_{A^3}(x)$ и т.д., а степени $A$ легко вычисляются: $A^k=V\Lambda^k V^{-1}$, если $A=V\Lambda V^{-1}$ есть каноническое разложение $2\times 2$-матрицы $A$. Литература 1. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975. 632 стр.
|
