Архив публикаций

Тезисы

XV-ая конференция

Матричные модели планиметрий

Манолов А.И.

студент МФТИ, Россия, 117303, Москва, ул. Керченская 1А, 707-3, 89168694450, paraslonic@yandex.ru

Глобальное определение метрической геометрии посредством инвариантной квадратичной формы впервые использовал Герман Минковский в 1908 году [1]. Вводя метрику «единого» пространства-времени — мира специальной теории относительности (СТО), Минковский постулировал инвариантность интервала –x12 + x22 (для движения вдоль одной оси, x1 — временная координата, x2 — пространственная координата) во всех инерциальных системах отсчета.

Задавая инвариант иным образом, мы получим другие геометрии. Пусть M – метрическая матрица, а матрица B – матрица перехода в другой базис. Тогда из условия постоянства интервала следует:

BўMB = M Ю B = b1E + b2N = eaN є B(a), 1)

Рассмотрим случай симметричной метрики Mў = M, тогда нетрудно доказать (см. [2]):

N = M–1J = (m1J – m2I + m3F)/|M| є n2F + n3I + n4J Ю |N| = |M|–1,

где F є diag(–1, 1) є (–e1, e2), I є (e2, e1), J є (e2, –e1) – матрицы входящие в группу диэдра.

Не нарушая общности, можно полагать метрическую матрицу нормированной так, что |M| = ±1. Поэтому, если |M| = 1, то и |N| є – n22 – n32 + n42 = 1. Эта дополнительная квадратичная форма позволяет полярным способом параметризовать структурную матрицу:

n2 = shb sing, n3 = shb cosg, n4 = chb Ю B = cosaE + sinaN = eaN, (2)

— это вариант обобщенного эллиптического поворота, так как N2 = –E.

Для случая |M| = –1, аналогично имеем:

n2 = chb sing, n3 = chb cosg, n4 = shb Ю B = chaE + shaN = eaN; (3)

— это вариант обобщенного гиперболического поворота, так как N2 = E.

Случай кососимметричной метрики M = J представляет самостоятельный интерес, так как кососимметричная матрица J автоконгруэнтна с множителем, равным детерминанту преобразующей матрицы: BўJB = |B| J. Следовательно, унимодулярные базисы B, детерминант которых |B| є 1, можно интерпретировать как базисы симплектических планиметрий.

• открыть в PDF формате